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线速度角速度公式,角动量等相关总回顾

互联网 2021-05-09 23:48:02
角速度和线速度等相关

s=r\theta

\theta=s/r

Because \theta is the ratio of an arc length and the radius of the circle%2c it is a pure number. However%2c we commonly give\thetathe artificial unit radian (rad).

\omega=d\theta/dt

\alpha=d\omega/dt

v=ds/dt=rd\theta/dt=r\omega

a_{t}=r\alpha

a_{r}=v^2/r=r\omega^2

注意,角速度和线速度以及对应的加速度的关系,都以存在角速度为前提。而存在角速度意味着物体沿曲线运动。在“平面运动笔记整理”中,已经说明了,物体做曲线运动,首先它的线速度方向在切线方向。它所具有的加速度可以分成两个分量,一个分量沿切线方向,即和线速度同方向,即 a_{t} ,另一个指向圆心,即 a_{r}

Rotational kinetic energy and moment of inertia

K_{i}=m_{i}v_{i}^2/2

K_{R}=\sum_{i}^{}{K_{i}}=\sum_{i}^{}{m_{i}v_{i}^2}=(\omega^2/2)\sum_{i}^{}{m_{i}r_{i}^2}

I=\sum_{i}^{}{m_{i}r_{i}^2}

K_{R}=I\omega^2/2

这个评论值的反复回味:

The moment of inertia is a measure of the resistance of an object to changes in its rotational motion%2c just as mass is a measure of the tendency of an object to resist changes in its linear motion. Note%2c however%2c that mass is an intrinsic property of an object%2c whereas I depends on the physical arrangement of that mass.

moments of inertia的计算:

I=\lim_{\Delta m_{i} \rightarrow 0}{\sum_{i}^{}{r_{i}^2\Delta m_{i}}}=\int_{}^{}r^2dm

uniform hoop:

I=\int r^2dm=R^2\int dm=MR^2

uniform rod:

dm=\lambda dx=Mdx/L

I=\int r^2dm=\int_{-L/2}^{L/2}x^2Mdx/L=(M/L)\int_{-L/2}^{L/2}x^2dx=ML^2/12

uniform solid cylinder:

dV=dA\cdot L=(2\pi rdr)L

I =\int \rho r^2dV=\int \rho r^2 2\pi rL dr=2\rho \pi L \int_{0}^{R}r^3dr=\pi \rho LR^4/2=MR^2/2

注意: M=\rho V=\rho (\pi r^2L)=\rho \pi R^2L

parallel-axis theorem

I=I_{CM}+MD^2

角动量和torque

说明:MIT公开课的授课顺序是,先讲角动量,再讲torque,相对于书上先讲torque再讲角动量,我感觉思路更清晰。

角动量

定义: \bar L_{O}=\bar r_{O}\times\bar p

L=mvrsin\phi

注意这里的vector position: \bar r 。对于该vector position而言,取不同的起点,值是不同的。在一个particle做圆周运动时,圆心是个特殊的点,它意味着 \bar r\bot\bar p ,还意味该particle在任意位置上, |\bar r| 都是相等的。

这也说明了,角动量和动量不同。angular momentum is not an intrinsic property of a moving object。而momentum则是intrinsic property。或者说,angular momentum的大小和方向取决于O点的选择,而momentum的大小和方向则是由物体的质量和速度本身决定的。

引出torque,以及角动量和torque的关系:

d\bar L/dt=d/dt(\bar r\times\bar p)=\bar r\times d\bar p/dt+d\bar r\times \bar p/dt=\bar r\times d\bar p/dt=\bar r\times\bar F

注: p=mvF=ma=mdv/dt=d(mv)/dt=dp/dt

torque的定义:

\tau=\bar r \times \bar F

因此: d\bar L/dt=\tau

这个是角动量和torque的关联。

which is the rotational analog of Newton's second law%2c \sum F=d\bar p/dt . Note that torque causes the angular momentum \bar L to change just as force causes linear momentum \bar p to change.

如上图,这个disk的总的角动量的计算(设圆心为 O ):

L_{i}=m_{i}r_{iO}v_{i}=m_{i}r_{iO}^2\omega -------单个particle的角动量计算。

L_{disk}=\sum L_{i}=\sum m_{i}r_{iO}^2\omega=\omega\sum m_{i}r_{iO}^2=I_{O}\omega ------一个系统的总角动量的计算。

评注:这里的 \sum L_{i} 是很有意思的。不论旋转物体是圆盘,还是球体,抑或是正方体,这个动量和都是适用的。然而乍看之下,不同形状的物体的动量之和,却可以套用同一个公式,是很奇怪的。但细想之下,其中的原因,在于质量。质量是个高度抽象的概念,它和体积之间存在一个有趣的关系: \rho =m/V 。两者的关联性,最后又抽象出一个更高的概念,就是moment of inertia。这个 I 和物体的具体形状,就直接关联了。

角动量的公式和动量公式相似。 \bar p=m\bar v 。但相比之下,动量显得直观的多。动量是intrinsic property of an object。而角动量是取决于参照点的。不同的参照点,角动量也是不同的。另外,动量不取决于物体的具体形状,只取决于物体质量和 v_{CM} 。而角动量则会根据物体的具体形状不同而不同。

L=I_{CM}\omega 可以看出,一个具体的圆盘有确定的质量和半径,因此 I 是恒定的。当该圆盘保持固定的角速度旋转时,则圆盘的角动量时恒定的。这个角动量称之为spin angular momentum。The spin angular momentum is an intrinsic property of an object%2c regardless of which point you choose to calculate the angular momentum.

spin angular momentum的前提是rotation about the center of mass。具体在这里例子中,如果旋转不是围绕圆心进行的,那么线速度和角速度的关系就不能用 v=r\omega 来转化,也就不能推出 L=I\omega

torque定义:

\bar \tau =\bar r\times \bar F

\tau=rFsin\phi=F(rsin\phi)=Fd

d=rsin\phi -----moment of arm (or level arm)

2. torque和角加速度的关系: \tau=I\alpha

论证:

dF_{t}=(dm)a_{t}

d\tau=rdF_{t}=(rdm)a_{t}=(rdm)r\alpha=(r^2dm)\alpha

\sum \tau=\int (r^2dm)\alpha=\alpha \int r^2dm=I\alpha

外力作用于物体,即可以使物体直线运动,也可以使物体产生旋转。使物体产生旋转的原因是,以下图的rod为例。当你施加斜上方的力时,杆子就逆时针旋转。因为斜上方的力可以分为 F_{t}F_{r} ,真正使物体旋转的力是 F_{t} ,而 F_{r} 因为pivot的存在而相互抵消。

3. torque的运用和理解:

将图中的杆子在水平方向放开,则因为地球对杆子的中心点有引力,引力和旋转点形成torque。可得:

\tau=F_{t}r=mg(L/2)

又, \tau=I\alphaI_{CM}=ML^2/12I_{rod}=I_{CM}+MD^2=ML^2/12+ML^2/4=ML^2/3

可得:

\alpha=\tau/I=3g/2L

a_{t}=L\alpha=3g/2

也就是说,当直杆在水平位置落下时,直杆每个点的受力都是不一样的。dF=adm。当这种不均匀的受力超过直杆的韧性时,直杆就可能断裂。

另外可以看到,torque的两个公式, \tau=Frsin\theta\tau=I\alpha 之间的关联。通过torque的媒介,可以从力推导角速度,从而推导线速度。更准确的说,是力对一个物体一端的作用,通过力臂传导,可以推算另一端的受力情况以及相关的速度,加速度等。

torque和work以及rotational kinetic energy的关系

\tau=I\alpha=Id\omega/dt=I(d\omega/d\theta)(d\theta/dt)=I(d\omega/d\theta)\omega

 \tau d\theta=I\omega d\omega

又: dW=\bar{F}ds=(Fsin\phi)rd\theta=\tau d\theta

可得:

W=\int_{\theta_{i}}^{\theta_{f}} \tau d\theta=\int_{\omega_{i}}^{\omega_{f}}I\omega d\omega=I\omega_{f}^2/2-I\omega_{i}^2/2

The net work done by external forces in rotating a symmetric rigid object about a fixed axis equals the change in the object's rotational energy.

书中有一个例题,我算错了。原因在于没有意识到单个particle的角动量和一个系统内的角动量的计算方式是不同的。

一个人站在旋转的圆盘边缘(圆盘绕圆心旋转)。圆盘质量 M=100kg ,半径 R=2.0m 。人体质量 m=60kg 。当该人站在圆盘边缘时,圆盘的角速度 \omega=2 rad/s

求:当该人走到和圆心距离 r=0.5m 时的角速度?

我开始的解题思路是,首先,人和圆盘为一个系统,该系统不存在外力影响,torque为0,因此无论人走到圆盘的哪个位置,角动量恒定。

其次,系统的总角动量,等于系统内各个element的角动量的总和。然后我这里犯了一个错误,我在计算圆盘的角动量时,用了 L=mvrsin\phi 的公式。我忽略了这个公式中存在一个明显的问题,这里的 v ,即线速度在圆盘中的各个点上,是不同的。因此,这个公式只适用于计算particle的角动量,而不能用来计算圆盘的角动量。当然,这道题中,对于人体角动量的计算,是简化了的,因为没有给出人体相应的数值,如近似一个圆柱体,半径多少之类。因此,对人体,是可以近似为一个particle来计算角动量的。由于我当时没有意识到particle和实体角动量的计算差别,因此,我也没有意识到人体作为particle实际上是简化的结果。

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