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羅必達,不定式 (Indeterminate Forms)

互联网 2021-05-09 00:13:20
Presentation on theme: "不定式 (Indeterminate Forms)"— Presentation transcript:

1不定式 (Indeterminate Forms)1. 不定式 0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0) 2. 不定式(The Indeterminate Forms of Type ) 3. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and ) 4. 不定式%2c 和 (The Indeterminate Forms%2c and)

21. 不定式0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0 )在實際的應用方面,我們經常會碰到一些極限難以求出的情形,例如: 等等。

3以 來說, 的分子分母在 時,皆趨近於0,將 的分子和分同除以x,則得 由觀察知

4分別為函數 和 在 x=0 的微分,由極限定理知

5將 用 替代, 用代,x −0用 替代。若 存在,且 %2c 則我們得到 weak form of L’Hopital’s Rule,即

6在我們證明羅必達定理(L’Hopital’s Rule)之前我們需要以下的高奇均值定理定理1: 高奇值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem) f%2cg在(a%2cb)為可微分,且在[a%2cb]為連續。若 在(a%2cb)恆不為 0,則ヨc(a%2cb)%2c滿足

7證明:令 由於 %2c且g在[a%2cb]連續%2c故 g(b)≠g(a)%2c即s(x)為welldefined. s(a)=s(b)=0%2c且s(x)在(a%2cb)為可微分%2c故利用微分均值定理可知 使得

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9定理2(L’Hopital’Rule for forms of type 0/0)若 或表示±∞皆可%2c則 其中u可表 %2c−∞或∞

10證明:若f(u)或g(u)≠0%2c甚至f(u)或g(u)無定義%2c我們皆令f(u)=g(u)=0%2c則當x→u時%2c(此時u表 )%2c高奇均值定理將適用%2c義即存在c介於x和u之間%2c使得

11由於x→u時%2cc亦趨近於u%2c故得 若u表∞%2c則令 %2c 所以 利用以上所證明u表 的情況可得

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13若u表-∞,令 ,得 理由同上。 例1:求 解:兩者皆為0/0的不定式,利用羅必達定理得

14例2:求 解:上式為0/0的不定式,利用羅必達定理得

15例3: 求 。 解: 利用定理2%2c分子和分母同時對x微分%2c並取x趨近於零的極限值。

16例4: 求 。 解: 利用定理2%2c分子和分母同時對x微分%2c並取x趨近於零的極限值。

17例5: 求 。 解:連續兩次利用羅必達定理得

18例6:求 解:上式為0/0的不定式,連續利用羅必達 定理得

19例7:求 解:上式為0/0的不定式,連續利用羅必達 定理得

20例8:求 解:由於 ,故定理2適用:

21例9:求 解: 利用定理2得

22例10:求 解:令 由於 且F(x), 在(0%2c∞)為可微分,在[0%2c∞]為連續,故可適用定理2。

23例11:求 解:雖然 %2c 但由於 並不存在,故定理2並不適用,須利用別的方法求其極限值。

24由於 所以

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262. 不定式 (The Indeterminate Forms of Type )定理3 (L’Hopital’s Rule for forms of type∞/∞) 若 其中 或表 皆可%2c則 u 可表 或 。

27證明:設x和為f和g在定義域中適用高奇均值定理的兩點,即f、g在x和所形成的閉區間為連續,f、g在x和所形成的開區間為可微分,且 在此開區間恆不為0,則存在c介於x和之間,使得

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29同定理2的情況,我們先考慮u表 的情況。取x和 很靠近u%2c使得g(x)>0%2c則 (1) 若 (若u表a) (若u表 ) 滿足

30取為滿足前述,條件的一個點,則 %2c(1)式 兩邊各撿減α得

31(三角不等式) 將 點固定不動,則x→u時%2cg(x)→∞%2c即 %2c且因此 故

32若 %2c則 %2c在x 很靠近u 時%2c 取x和滿足 %2c %2c 但固定 點%2c向u的方向移動x點%2c使得

33由(1)式知 (因為c介於x和 之間%2c所以 ) 即 在x很靠近u時可任意大%2c故得證

34若u表∞或−∞%2c可令 %2c 則

35同理%2c

36至於 或 的情況。只要考慮 或 %2c再利用定理3%2c即可得證

37例12: 求 。 解:此為∞/∞的不定式。

38例13: 求 %2c其中p>0。 解: 由於 %2c %2c故定理3適用。 若 %2c則再利用定理3%2c直到存在 %2c滿足 為止%2c 意即

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40例14: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式%2c利用定理3%2c將分子分母同時對x微分%2c再取x從左邊趨近於 的極限值。

41例15: 求 。 解:此為∞/∞的不定式%2c利用定理3%2c將分子分母同時對x微分%2c再令x趨近於∞。

42例16: 求 (a>0)。 解: 由於 %2c %2c故可利用定理3

43例17: 求 。 解: 由於 %2c 故可利用定理3

44例18: 求 。 解: 由於 %2c 故可利用定理3

45例19: 求 。 解: 由於 %2c 故可利用定理3

46例20: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

47例21: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

483. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and )例22:求 。 解: %2c %2c 故此題為 的不定式。利用如下的方法%2c我們可將之轉為∞/∞的形式%2c再利用定理3求解。

49例23: 求 。 解: 此為 的不定式。

50例24: 求 。 解: %2c 故此題為 的不定式。如同上題一般%2c將之轉化為0/0的形式%2c再利用定理2求解。

51例25: 求 。 解: %2c 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式%2c使之成為0/0的不定式%2c再利用定理2求解。

52

53例26: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。如同上例一般%2c利用通分的方式%2c使之成為0/0的不定式%2c再利用定理2求解。

54

55例27: 求 。 解: %2c 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式%2c使之成為0/0的不定式%2c再利用定理2求解。

56例28: 求 。 解: %2c 故此題為 ∞−∞的不定式。

57例29: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式%2c使之成為0/0的不定式%2c再利用定理2求解

58例30: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。

59例31: 求 。 解: 此題為 的不定式。

60例32: 求 。 解: 此題為 的不定式。

61

624. 不定式 %2c 和 (The Indeterminate Forms %2c and )例33: 求 。 解: %2c %2c此為的不定式。

63例34: 求 。 解: 令 %2c 兩邊同取ln%2c可得 將 %2c擴充至函數 %2c則 又 即 。

64例35: 求 。 解: %2c %2c此為的不定式。 為 的不定式

65故

66例36: 求 。 解: %2c %2c此為的不定式。

67例37: 求 。 解: %2c %2c此為 的不定式。

68例38: 求 。 解: 此為 的不定式。 我們只需求 %2c並將結果帶入上 式%2c即可得到最後結果。

69故

70例39: 求 。 解:此為 的不定式。 我們只需求 %2c並將結果帶入上 式%2c即可得到最後結果

71故

72例40: 求 。 解:此為 的不定式。

73又 故

74本單元結束

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